1- en el polinomio P(x) = X3 + 4x2 + K x + 2 ; ¿cuánto vale “K” si se sabe que -2 es uno de sus ceros

EJERCICIOS DE PARCIALES Y EXAMENES FINALES

Aquí encontrará grupos de cinco preguntas típicas sobre geometría, trigonometría, ecuaciones de 1er y 2do grado, y también factoreo de expresiones racionales. Estos ejemplos fueron extraidos de examenes parciales y finales, del curso de ingreso de Matemáticas de la Facultad de Tecnologias y Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de Tucumán.

Ejemplo nro:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19	20	21

Estos exámenes deben realizarse en un máximo de dos horas. No es necesario emplear calculadora. Puede consultar fórmulas, tablas y ecuaciones necesarias en alguno de los ejercicios.

Agradecemos la valiosa ayuda del Señor Roberto Vega, estudiante de Ingeniería Biomédica, en la carga del material.

Ejemplo 1

1- En el polinomio P(x) = x³ + 4x² + K x + 2 ; ¿cuánto vale “K” si se sabe que “-2” es uno de sus ceros ?, ¿cómo se factorea el polinomio?

Respuesta:

P(x) = x³ + 4 x² + kx +2

-2 cero del polinomio Þ P(-2) = 0 Þ –8 + 4.4 + k(-2) + 2 = 0 Þ -2k + 10 = 0 Þ k = 5

-2 cero del polinomio Þ P(x) divisible por x + 2 Þ podemos aplicar Ruffini para calcular el cociente.

1 4 5 2

-2 -2 -4 -2

1 2 1 0

Luego P(x) = (x+2) (x² + 2x + 1) = (x+2) (x+1)²

2- Si sabemos que , ¿cuál es el valor de “b”?.

Respuesta:

Þ b^1/6 : (b^1/2 b^2/3) = 2 Þ b^1/6-1/2-1/3 = b^-1= 2 Þ 1/b = 2 b = 1/2

3- Calcule x con los datos de la figura:

Respuesta:

Se puede aplicar Pitágoras porque se trata de triángulos rectángulos.

a² + a² = 18 Þ 2 a² = 18 Þ a² = 9 Þ a = 3 (porque es longitud, sino debería dar dos soluciones 3 y –3)

Þ 18 + a² = x² Þ 18 + 9 = x² Þ x =

4- Con los datos de la figura calcule x:

Respuesta:

Sea D el pie de la altura correspondiente al lado AC.

Como C = 45º, resulta DC = x + 4 y AC = 4x - 1 – (x + 4) = 3x – 5

Þ 3tg25º x – 5 tg 25º = x + 4 Þ (3tg25º -1) x = 4 + 5 tg 25º Þ

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Ejemplo 2 (para resolver vea el Ejemplo 1)

1- Determine el valor de K para el polinomio P(x)= 4x³ + K x + 1

admita a “-1” como uno de sus ceros, ¿cómo se factorea el polinomio?.

2- Determine el valor de “a” si se sabe que:

3- Con los datos de la figura calcule x:

4- Con los datos de la figura calcule x:

5- Resuelva la ecuación :

log 4 - log (1+ 3x ) = log x

Respuesta:

log 4 – log (1 + 3x) = log x Þ Þ Þ 4 = x + 3 x² Þ

3 x² + x – 4 = 0 Þ Þ x₁ = -8/6 = -4/3, x₂ = 1

Como no se puede aplicar logaritmos a números negativos y en la ecuación inicial está la expresión log x, debemos descartar la solución x₁ = -4/3.

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Ejemplo 3

a- Exprese en el sistema sexagesimal ( grados, minutos y segundos) los siguientes ángulos,

indicando el procedimiento paso a paso.

b₁ = p/9 rad. b₂ = ½ rad.

b- Exprese en radianes, como un cierto múltiplo de p los siguientes ángulos,

indicando el procedimiento paso a paso:

b₁ = -120º b₂ = 30º 45’

Respuesta:

a) p ¾¾ 180º

p/9 ¾¾ p/9 . 180º /p = 20º

b) 180º ¾¾ p

-120º ¾¾ -120º . p / 180º = -2/3 p

2- verifique la siguiente identidad paso a paso.

Respuesta:

3- Sobre una loma situada en la rivera de un río existe una torre de 120 m de altura. Desde un punto situado en la orilla opuesta se ve el borde superior de la torre con un ángulo de elevación de 45º y la base de la torre con un ángulo de 15º. Calcule el ancho del río

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Ejemplo 4

1- a- Exprese en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos, indicando el procedimiento paso a paso.

b₁ = p/ 4 rad. b₂ = 6/5 rad.

b- Exprese en radianes los siguientes ángulos, indicando el procedimiento paso a paso:

b1 = 45º b2 = 30º 45’

2- Verifique la siguiente identidad paso a paso.

3- Dado el gráfico siguiente, en donde = 50 [N]. Calcular las componentes de en una dirección paralela al plano inclinado y otra perpendicular al mismo.

4- Desde un punto del suelo que está a 10 m de distancia de la base de un edificio, el ángulo de elevación del extremo inferior es de 30º. Calcule la altura del ventanal.

5- son dos vectores que forman un ángulo de p/3 radianes entre ellos. Si los módulos de los vectores son: ; calcule:

a- módulo del vector resta

b- el ángulo que forman los vectores siendo y

c- el módulo del vector con = -

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Ejemplo 5

1-a- Exprese en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos, indicando el procedimiento paso a paso:

b₁ = 7p/6 rad. b₂ = 1,5 rad.

b- Exprese en radianes, como un cierto múltiplo de p los siguientes ángulos, indicando el procedimiento paso a paso:

b₁ = -240º b₂ = 20º 30’

2- En el gráfico siguiente un cuerpo de peso P cuelga de un cable. Si = 10 [N]. Calcular las componentes de en una dirección paralela al cable y otra perpendicular al mismo.

3- Sobre una loma situada en la ribera de un río existe una torre de 150 m de altura. Desde un punto situado en la orilla opuesta se ve el borde superior de la torre con un ángulo de elevación de 45º y la base de la torre con un ángulo de 15º. Calcule la altura de la loma.

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Ejemplo 6

1- En el grafico siguiente un cuerpo de peso P cuelga de un cable. Si P = 200 [N]. Calcular las componentes de en una dirección paralela al cable y otra perpendicular al mismo.

2- son dos vectores que forman un ángulo de p/3 radianes entre ellos. Si los módulos de los vectores son: ; ; Calcule:

a- Módulo del vector resta

b- El ángulo que forman los vectores siendo y

c- El módulo del vector con

3- Un tren corre hacia el norte con una velocidad de 90 km/h. Un pasajero que está sentado en el lado derecho del tren lanza una pelota hacia el oeste a 20 km/h, de modo tal que la pelota se mueve perpendicularmente al movimiento del tren. ¿cuál es la velocidad de la pelota con respecto a la tierra?.

4- Encuentre la fuerza resultante en el sistema de la figura.

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Ejemplo 7

1- Resuelva la ecuación: log ₂ (y + 2) - log ₂ (y - 3) = 1

2- Determine para que valor de x se verifica:

3- Factoree la expresión: b⁴ - 4b² - b³y + 4by

4- Determinar la edad de Juan y Pedro sabiendo que la tercera parte de la edad de Juan más la edad de Pedro suma 30 años, y que la edad de Juan más la mitad de la edad de Pedro es 45 años.

5- Para qué valores de la constante K tiene una raíz doble de la ecuación:

Kx² - 4x + 9K = 0

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Ejemplo 8

1- S = -1 es raíz del polinomio P(x), 2 es una raíz doble del mismo y en cero toma el valor -8. Determinar el coeficiente del termino de primer grado de P(x).

2- Calcular el valor de x si se sabe que:

log ₂ (3x + 2) - log ₂ (9x - 2) = -1

3- Factorear el polinomio:

5x³ - bx² + 10x - 2b

4- Determinar el numero de cada clase de animales, entre pavos y caballos, si se cuentan 60 patas y 23 animales.

5- En un triángulo rectángulo las longitudes de sus lados son tres enteros pares consecutivos. ¿cuánto mide la hipotenusa?.

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Ejemplo 9

1- Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son tres enteros consecutivos. Determinar la longitud de la hipotenusa.

2- Factorear el polinomio:

ax³ - 3x² + 2ax - 6

3- En un corral hay patos y caballos. Si se cuentan 60 patas y 21 animales en total. ¿cuántos animales de cada clase hay?.

4- Se pide determinar el coeficiente del termino cuadrático del polinomio P(x) sabiendo que P(x) es de tercer grado, tiene a -2 como raíz simple, a 1 como raíz doble y que P(0) es -4.

5- Calcule el valor de x si : log ₃ (x + 2) - log ₃ (2x + 13) = -1

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Ejemplo 10

1- Resuelva y complete:

2- Un automóvil parte de Buenos Aires a Mar del Plata a una velocidad de 120km/h. En el mismo instante, pare otro automóvil desde Mar del Plata hacia Buenos Aires a una velocidad de 80 km/h. La distancia entre ambas ciudades es de 400 Km.

a- ¿Cuanto tiempo tardaran en cruzarse?

b- ¿A que distancia de Buenos Aires se cruzaran?.

3- Un abanico esta formado por 12 varillas, de tal manera que:

a- El abanico abierto abarca 180º

b- La distancia entre los extremos de 2 varillas consecutivas es de 5 cm.

c- ¿cuál es la longitud de cada varilla?.

4- Encuentre el o los valores de x que verifican la siguiente ecuación:

log ₁₂ (x-2) + log ₁₂ (x-1) = 1

5- Verificar y completar, para a un numero real.

6- Encuentre el polinomio divisor, sabiendo que el dividendo es D(x) =x³ - 3x² +3

el cociente es C(x) = x + 3 y el resto es R(x) = x.

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Ejemplo 11

1- Entre las personas de una reunión de beneficencia se recolecta $ 16.000, habiendo puesto los hombres $ 300 cada uno y las mujeres $ 250 cada una. ¿cuántos hombres y cuantas mujeres había?.

2- Determine para que valor de x se verifica: 4x - log ₃ (9⁵) = log ₃

3- Factoree las expresiones:

a- y² + 4b² - 4by

4- Calcule los ángulos BAC y BCA de la figura sabiendo que :

NMA = 130º

ABC = 70º

MN // AC

5- calcule la superficie de un rectángulo cuya base mide el triplo de la altura y la diagonal mide 15 cm.

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Ejemplo 12

1- Dados los siguientes ángulos: a = 22º 33’ 15’’; b = 15º 43’ 25’’; d = p/3rad.

Calcular:

a- a - b

b- a + 2b - d

Operar con grados sexagesimales y expresar cada resultado final en radianes, indicando el procedimiento paso a paso.

2- Sobre el mismo punto de un plano inclinado actuan las fuerzas y

, como se indica en el grafico

a- Determinar el modulo de la fuerza resultante.

b- Calcular las componentes de la resultante en una dirección perpendicular al plano inclinado y otra paralela al mismo.

3- Un adulto de 1,80 m de estatura y un niño de 1,20 m, están parados, uno al lado del otro a la luz de un foco del alumbrado público. El adulto proyecta una sombra de 1,17 m y el niño otra de 0,76 m. ¿A qué altura sobre el suelo se encuentra el foco?.

Ejemplo 13

1- Calcule el valor de:

log ₂ =

2- Simplifique:

: =

a- Resuelva el siguiente sistema

2x - 3y = 5

5x + 8y = -3

b- Plantee el siguiente problema ( no lo resuelva)

Actualmente el padre tiene 7 veces la edad del hijo. Dentro de 25 años, el padre solo tendrá el doble de la edad del hijo. ¿cuáles son sus edades actuales?.

a- Determine K para que la ecuación:

x² + (K + 3) x + 5 - K² = 0 Una raíz sea la opuesta de la otra.

b- Diga cuales son las raíces

5- La altura de un triángulo isósceles relativa al lado desigual es 12 cm y la base mide 10 cm.

a- Calcule el perímetro.

b- Calcule los ángulos del triángulo.

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Ejemplo 14

1- Determine el valor de K para que el P(x)= 4x2 + Kx + 1

admitiendo que (a-1) es una de sus ceros. ¿cómo se factores el polinomio?.

2- determine el valor de a si se sabe que =

3- con los datos de la figura calcule x:

4- con los datos de la figura calcules x:

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Ejemplo 15

1- Cuanto vale b si sabemos que:

2- Encontrar el valor de K para que:

P(x) = x³ - 3x + k

Tenga a-2 como una de sus raíces.

3- Calcular x

4- Resuelva

log( 2x + 1 ) + log x = log3

5- Calcular X:

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Ejemplo 16

1- Dada la parábola : y = -x² - 2x - 2

a- Encontrar el vértice

b- Encontrar las intersecciones con los ejes.

c- Analizar hacia donde abre.

d- ¿Cuanto vale “y” para “x = -2”?

2- Sea P(x) = 3x³ - 10x² + x + 6

a- verificar que 3 es raíz de P(x).

b- Sabiendo lo anterior, factorear P(x).

3- Resolver y completar:

x.............

=

4- verificar verificar y completar. (considerar a un numero real)

sen(-a). Cos( p - a ). tg a = sen² ( p - a )

5- Resolver las siguientes ecuaciones:

a- =

c- ¿Los primeros miembros de las dos ecuaciones son iguales?. Si o no y por qué.

d- ¿Qué puede decir de las soluciones de ambas ecuaciones?.

6- Una escalera tijera esta hecha uniendo dos escaleras de 2,10 m de largo, por una soga de 70 cm atada en dos escalones que se encuentran a 2/3 de la parte superior. Calcular la altura de la escalera y el ángulo que forman entre si las dos partes.

7- Al comenzar a jugar las cartas, entre Pablo y Marcos tienen $57. Pablo le gana $10 a Marcos. Entonces, el doble de lo que tiene pablo, menos el triplo de lo que tiene Marcos es 29.

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Ejemplo 17

1- Un vector tiene un modulo igual a 10 y un vector un modulo igual a 15. el ángulo entre ellos es de p/4 radianes. Determinar gráficamente.

(a) (b) (c) Calcular analíticamente

2- En el sistema de vectores que se indica, aplique el metodo de las componentes para determinar el vector resultante (módulo y ángulo de dirección).

=45

3- En el triangulo ABC de la figura, calcular el lado X y el ángulo a (alfa).

l₁= 3 m

l₂= 5 m

d = 25º

b = 60º

4- Un foco de alumbrado público ilumina el frente de una casa. La puerta, de 2,50 metros de altura, esta abierta y la luz penetra 2,30 metros dentro de la casa. Una persona de 1,70 metros está parada en la vereda, a 3 metros de la puerta, y proyecta una sombra de 1,20 metros. Calcular la altura del foco.

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Ejemplo 18

1- Calcule la superficie de un triángulo isósceles si la base mide 30 cm y uno de los lados iguales mide 25 cm.

2- Si log ₂x = 0,5 ; log ₂y = -0,5 ; log ₂ z = 2,5 ;

Calcule:

3- Determine para uqe valor de y se verifica la siguiente igualdad:

4- Calcule los ángulos a, b, g de la figura

5- Determine el valor de la constante b sabiendo que el punto de coordenadas

( -1 ;3 ) pertenece a la recta de ecuación y = 2x + b

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Ejemplo 19

1- Calcule los ángulos a, b, g de la figura:

3- Determine para que valor de y se verifica la siguiente igualdad:

4- Determine el valor de la constante sabiendo que el punto de coordenadas ( 2, 7 ) pertenece a la recta de ecuación y = 3x + a

5- Calcule la superficie de un triángulo isósceles si la base mide 16 cm y uno de los lados iguales mide 12 cm.

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Ejemplo 20

1- Efectúe la reducción al primer cuadrante y halle el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones:

(a) sec ( 180º ) tg ( 120º ) cos ( 140º )

(b) tg (-65º ) cosec ( 330º ) - cos ( 440º ) sen (-75º )

2- verifique la siguiente identidad:

tg x = ( 1 - cos 2x ) / sen 2x

3- Dado el segmento MN, determinar la amplitud del ángulo alfa que se indica en el circulo trigonométrico y el área del triángulo ABC.

MN = 0,58

4- Desde el lecho de un canal se desea determinar la altura h de un paredón. A este efecto, se mide la distancia d y los ángulos que se indican.

Efectúe los cálculos necesarios para obtener la altura pedida.

d = 3m ; a = 60º ; b = 15º ; g= 15º

5- Determinar los ángulos a y b que satisfacen simultáneamente las ecuaciones:

sen a . sen b + 0,25 = 0

b - a = p/ 2

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Ejemplo 21

1- Calcule ; sabiendo que log _a A = 0,5 ; log _a B = -0,2 ; log _a C = 0,1

2- Sea P un punto exterior a una circunferencia de centro C y radio r. Se sabe que T es el punto de tangencia de la recta que contiene a PT con la circunferencia. ¿cuál es el valor de r si PT = 6 y PC 0 10?

3- Determine el polinomio P(x) sabiendo que; en 0 toma el valor 4; tiene grado 3; -1 es un cero doble y 2 es un cero simple.

4- Con los datos de la figura determine X:

5- Resuelva la ecuación:

2 (9^x) - 53 (3^x) - 27 = 0

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