EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO
Capítulo 6: Trigonometría.

1.- Calcule el valor de Δ=α+β+δ y el de θ=α-β. Además represente gráficamente si:

ejercicio	α	β	δ
a	30º	π/4	45º
b	- π/3	60º	π/4
c	2 π	- π/2	-3 π/2
d	135º	9 π/4	π/4

2.- Sabiendo que sen α = 3/5, construya sólo con este dato dos triángulos rectángulos con un ángulo interior igual a α. ¿Cuánto vale en cada uno de ellos la tg α?.

3.-
a) Complete la siguiente tabla obteniendo los valores por construcción de triángulos rectángulos apropiados:

en radianes	en grados	sen	cos	tg	ctg	sec	cosec
0
π /6
	45º
π /4

b) Compare sus resultados con los valores arrojados por Su calculadora.

c) Encuentre a partir de la tabla anterior los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos siguientes:

π/3 ; 3/2 π ; 60º ; π ; 3 π /4 ; 7 π /4 ; - π /6 ; -180º ; -3/2 π ; 5 π /3 ; 120º ; 7 π ; -765º

4.- Dados los ángulos suplementarios a y p ambos positivos y menores que π, se puede graficar lo siguiente:

¿Puede probar por congruencia de triángulos que sen = sen y cos = -cos ?

5.- Encuentre, si existen, los valores que puede tomar α sabiendo que 0 ≤ α ≤ π y que:

a) sen α = 1/
b) tg α = -1
c) cos α = 1/2
d) sec α = 2/
e) sen α = 0,8
f) cotg α = 94
g) sen α = -0,3
h) cos α = -0,6

6) Probar las siguientes identidades:
a)sen4 - cos4 = 1 - 2.cos2
b) sec - sec sen2 = cos con (2k +1).π/2, k Z
c) sen sec ctg = 1 con k. π /2, k Z

7.- Si sen x = 1/4 y cos y = 2/5. Calcule:
a) cos (π - x) + sen (π + y)
b) tg (π /2 - y) + [sen (π + x)]/tg y - ctg (π /2 - x)

8.- Demuestre que son ciertas las siguientes identidades:
a) cosec x (cosec x + ctg x ) = 1/(1 - cos x); x k π , k Z
b) (sen2 y - 2 cos y -1)/(2 + cos y + cos2 y) = 1/(1 + sec y); y (2k + 1) π, k Z e y (2k + 1) π /2, k Z
c)(r sen x cos y)2 + (r sen x sen y)2 + (r cos x)2 = r2

9.- Sabiendo que:
sen (α+β) = sen a cos β + sen β cos α
cos (α + β) = cos a cos β - sen α sen β
Pruebe que:
a) sen (α – β) = sen α cos β - sen β cos α
cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β
b) tg β = (tg α + tg β)/(1 + ctg α ctg β)
ctg (α + β) = (ctg α ctg β - 1)/(ctg β + ctg α)
c) sen 2 α = 2sen α cos α
cos 2 α = cos2 a - sen2 a
d) cos2 α = (1 + cos 2 α)/2
sen2 α = (1 - cos 2 α)/2
e) cos /2 = ±
sen /2 = ±

10.- Calcule:
a) sen (5 π /12)
b) cos (7π/12)
c) cos (19 π /12)

11.- Si cos (x - 510º ) = -1/2 y sen x < 0, calcule tg x y ctg x.

12.- Encuentre los valores de x R que verifiquen:
a) sen x = 1/2
b) sen x = -/2, cos x >= 0
c) cos x = 1/2, 0<= x <= 2 π
d) tg x 0<= x <= π
g) cos2 x - 3 cos x + 2 0
e) tg x = , O x <= 2 π
f) sen x = cos x

13.- Encontrar los pares ( x, y) R2 que verifiquen el siguiente sistema:
sen (x + y) + sen (x - y) + 3 sen x = 0; 0<= x <= 2 π
x + y =3; 0 <= y <= 2 π

14) Se quiere cubrir con césped un cantero de forma triangular. Uno de sus lados mide 8m, los otros dos lados forman con éste ángulos de 46º y 60º. Calcule la cantidad de champa que se necesita para cubrirlo.

15.- Una persona colocada a 5m de una estatua que tiene el pie a la altura de los ojos del observador, la ve bajo un ángulo x. Si camina 2,6 m hacia la estatua, la ve bajo un ángulo doble (2x). ¿Cuánto debería alejarse del punto inicial para verla bajo un ángulo mitad (x/2) ?.

16.- Resuelva el triángulo ABC

Si:

a) c = 25; A = 35º; B = 68º
b) c = 628; b = 480; C = 55º 10'
c) a = 132; b = 224; C = 28º 40'
d) a = 25,2; b = 37,8; c = 43,4

17.- Sobre un peñasco situado en la rivera de un río, se levanta una torre de 125 m de altura. Desde el extremo superior de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta, es de 28º 40' y desde la base de la torre, el ángulo de depresión del mismo punto es de 18º 20'. Encuentre el ancho del río y la altura del peñasco.

18.- Un piloto sale de A y vuela 125 millas en dirección NE 30º 20'. Trata entonces de regresar al punto de partida, pero por un error vuela 125 millas en dirección SE 51º 40'. Calcule a qué distancia se encuentra de A y cuál ha de ser la dirección que debe tomar para llegar a A.

19.- Tres circunferencias, cuyos radios respectivos miden 115,150 y 225 cm, son tangentes exteriores entre si. Encuentre los ángulos que se forman cuando se unen los centros de las circunferencias.